منطق فازی

مفاهیم منطق فازی (fuzzy logic) اولین بار به وسیله پروفسور لطفی زاده ارائه شد و سپس توسط دیگران گسترش یافت. ریاضیات محض بخودی خود اهمیت چندانی ندارد بلکه نحوه کاربرد آن در صنعت اهمیت دارد. منطق فازی نیز بیش از بیست سال پس از ۱۹۶۵ از درگاه دانشگاه‌ها به بیرون راه نیافت، زیرا کمتر کسی معنای آنرا درک کرده بود. در اواسط دهه ۸۰ میلادی قرن گذشته صنعتگران ژاپنی معنا و ارزش صنعتی این علم را دریافته و منطق فازی را به کار گرفتند. اولین پروژه آن‌ها طرح هدایت و کنترل تمام خودکار قطار زیرزمینی شهر سندای بود که توسط شرکت هیتاچی برنامه ریزی و ساخته شد. از این پس منطق فازی بسیار سریع در تکنولوژی دستگاه‌های صوتی و تصویری ژاپنی‌ها راه یافت (از جمله نلرزیدن تصویر فیلم دیجیتال ضمن لرزیدن دست فیلم بردار).


کلمه fuzzy به معنای غیر دقیق و مبهم است و این منطق در مقابل منطق صفر و یک بوجود آمد. در منطق صفر و یک ارزش یک گزاره یا یک بود یا صفر، یا درست بود یا غلط، یاسفید بود یا سیاه، ولی در منطق فازی ارزش یک گزاره بین صفر و یک می‌باشد. اجازه دهید این تفاوت را با یک مثال توضیح دهیم.
فرض کنید گزاره ما درباره گرم بودن یا سرد بودن یک محیط باشد. در منطق صفر و یک باید یک دمای مرجع را در نظر بگیریم و اگر دمای محیط بالاتر از دمای مرجع بود می‌گوییم محیط گرم است و در غیر این صورت محیط سرد است. ولی در منطق فازی یک محدوده را بجای دمای مرجع در نظر گرفته و ممکن است محیط مثلا ۰.۳ گرم باشد. این تفاوت میان دو منطق را در شکل زیر می‌توانید ببینید:



برای آشنایی با منطق فازی و نحوه استدلال با آن ابتدا به معرفی چند مفهوم می‌پردازیم:

متغیر‌های زبانی:

متغیر‌های زبانی به متغیر‌هایی گفته می‌شود که مقادیر مورد قبول برای آن‌ها به جای اعداد، کلمات و جملات زبان‌های انسانی یا ماشینی هستند. همانگونه که در محاسبات ریاضی از متغیر‌های عددی استفاده می‌گردد، در منطق فازی نیز از متغیر‌های زبانی استفاده می‌گردد. هر متغیر زبانی می‌تواند بر اساس ارزش‌های زبانی در مجموعه‌ای قرار گیرد. به عنوان مثال: متغیر زبانی «سن» بسته به تقسیمات مورد نظر شخصی و شرایط می‌تواند در مجموعه عباراتی از قبیل: «نوجوان»، «جوان»، «میان سال» و «سالمند» قرار گیرد.

توابع عضویت (Membership function):

برای هر مجموعه X، تابع عضویت مجموعه X. تابعی است از X. نسبت به بازه [۰، ۱].
توابع عضویت X. بیانگر زیرمجموعه فازی X. است. تابع عضویت مجموعه فازی A. معمولاً بصورت μA نمایش داده می‌شود. درجه عضویت μA (x) i. بیانگر میزان عضویت عنصر x. به مجموعه فازی A. است.



اگر درجه عضویت یک عنصر از مجموعه برابر با صفر باشد، آن عضو کاملاً از مجموعه خارج است و اگر درجه عضویت یک عضو برابر با یک باشد، آن عضو کاملاً در مجموعه قرار دارد. حال اگر درجه عضویت یک عضو بین صفر و یک باشد، این عدد بیانگر درجه عضویت تدریجی می‌باشد. برای مثال اگر متغیر دما در تابع عضویت سرد، دارای مقدار درجه عضویت ۰.۳ باشد بدین مفهوم است که دمای محیط ۰.۳ سرد است.
شکل زیر انواع توابع عضویت را نشان می‌دهد:



شکل زیر قسمت‌های مختلف یک سیستم فازی را نشان می‌دهد:



چون که ورودی سیستم‌ها بصورت یک عدد قطعی (Crisp) می‌باشد وظیفه قسمت فازی (Fuzzification) این است که ورودی را بصورت یک مجموعه فازی در بیاورد. در قسمت پایگاه داده (Data Base) اطلاعات توابع عضویت‌ها قرار دارد. قسمت پایگاه قوانین (Rule Base) شامل قوانینی است که خروجی سیستم فازی را معین می‌کند. برای مثال فرض کنید که می‌خواهیم یک فن را برای متعادل کردن دمای محیط کنترل کنیم. پایگاه قوانین می‌تواند شامل قوانین زیر باشد:

۱.IF temperature IS very cold THEN stop fan
۲.IF temperature IS cold THEN turn down fan
۳.IF temperature IS normal THEN maintain level
۴.IF temperature IS hot THEN speed up fan

توجه کنید که temperature یک متغیر زبانی و عبارات

{very cold,cold,normal,hot,stop,turn down,maintain level,speed up}

 

هر کدام یک تابع عضویت می‌باشند.
توجه کنید که در منطق فازی یک گزاره کاملا صحیح یا کاملا اشتباه نمی‌باشد بلکه عددی بین صفر و یک می‌باشد. پس ممکن است قانون شماره یک ۰.۳ صحیح باشد و قانون شماره دو ۰.۶ صحیح و….
وظیفه قسمت غیر فازی کننده (Defuzzification) استنتاج است. روش‌های مختلفی برای استنتاج وجود دارد برای مثال ممکن است هر قانونی که صحیح‌تر بود را بعنوان خروجی در نظر بگیریم، ولی بهتر است که میانگینی از همه قوانین را در نظر بگیریم. به این روش، روش center of area نیز گفته می‌شود. خروجی در این روش از رابطه زیر بدست می‌آید:



تنها مشکل این روش محاسبات زیاد برای توابع عضویت پیچیده می‌باشد.

طراحی کنترل کننده فازی (Fuzzy Logic Controller):

پروفسور Wang در مقاله‌ای نحوه طراحی یک کنترل کننده فازی راشرح داد. فرض کنید سیستمی با فیدبک منفی دارای پاسخ پله زیر باشد:



همان طور که مشاهده می‌کنید در زیر منحنی، علامت E. و DE در بازه‌های مختلف مشخص شده است. اگر برای هر کدام از متغیر‌های خطا و تغییرات خطا هفت مجموعه بصورت زیر در نظر بگیریم:

(NB (Negative Big
(NM (Negative Medium
(NS (Negative Small
(Z. (Zero
(PS (Positive Small
(PM (Positive Medium
(PB (Positive Big

 

پایگاه قوانین را بصورت زیر می‌توان نوشت: