انواع تبدیلات ریاضی در برق

تبدیلات ریاضی مختلفی در مهندسی برق وجود دارد که هدف از استفاده از این تبدیلات ریاضی را می‌توان بصورت زیر بیان کرد:

۱- مجزا کردن (Decoupled) متغیر‌ها

۲- تسهیل حل معادلات با ضرایب متغیر با زمان

۳- ارجاع متغیر‌ها به یک چارچوب مشترک

مهمترین تبدیلاتی که در مهندسی برق بکار می‌رود عبارت اند از:

۱- تبدیل مولفه‌های متقارن فورتسکیو (Fortescue symmetrical components)

۲- تبدیل کلارک (Clarke)

۳- تبدیل کنکوردیا (Concordia)

۴- تبدیل پارک (Park)

تبدیل فورتسکیو:

از این تبدیل برای مطالعه شرایط نامتعادل در سیستم‌های قدرت و اجزای آن نظیر ژنراتورها، ترانسفورماتور‌ها و موتور‌های الکتریکی استفاده می‌شود. طبق نظریه فورتسکیو می‌توان یک سیستم n. فازه نامتقارن را به n. سیستم n. فازه متقارن تبدیل کرد. پس می‌توان یک سیستم نامتعادل سه فاز را به سه سیستم متعادل سه فاز تبدیل و محاسبات را در این فضا انجام داد. برای مثال فرض کنید سیستم سه فاز نامتعادل زیر را داشته باشیم:

 

می‌توان سه سیستم متعادل توالی صفر، توالی مثبت، توالی منفی را صورت زیر رسم کرد:



معادلات سه توالی بصورت زیر می‌باشد:

 

که ماتریس A-۱ ماتریس تبدیل فورتسکیو نامیده می‌شود. تبدیل کلارک سیستم سه فاز زیر و محور‌های αβ را بصورت زیر در نظر بگیرید:


‌
می‌توانیم بوسیله‌ی تبدیل زیر مولفه‌های abc را روی محور‌های αβ طوری تصویر کنیم که اندازه این مولفه‌ها در دستگاه جدید ثابت بماند:



این تبدیل را تبدیل کلارک می‌نامند. توجه کنید که این تبدیل حافظ توان نمی‌باشد بدین معنی که توان محاسبه شده در سیستم abc با توان محاسبه شده در سیستم αβ متفاوت می‌باشد. برای مثال سیستم سه فاز متعادل با بار مقاومتی زیر را در نظر بگیرید:



در لحظه ωt=π/۲ توان لحظه‌ای بصورت زیر محاسبه می‌شود:


در لحظه ωt=π/۲ توان لحظه‌ای در سیستم αβ بصورت زیر محاسبه می‌شود:



تبدیل کنکوردیا:

این تبدیل حافظ توان می‌باشد، ولی اندازه مولفه‌ها در دستگاه αβ تغییر می‌کند:



برای مثال قبل در لحظه ωt=π/۲ توان لحظه‌ای در سیستم αβ بصورت زیر محاسبه می‌شود:




تبدیل پارک:

تبدیل پارک یا dqo یک تبدیل ریاضی است که برای ساده سازی تحلیل مدار سه فاز به کار می‌رود. در حالتی که مدار سه فاز متعادل باشد استفاده از تبدیل dqo سه کمیت متناوب را را به دو کمیت DC کاهش می‌دهد. می‌توان محاسبات ساده شده را روی کمیت‌های DC موهومی انجام داد و سپس با استفاده از تبدیل معکوس، نتایج سه فاز AC را بدست آورد. از این تبدیل معمولاً برای ساده سازی تحلیل ماشین‌های سه فاز سنکرون یا برای ساده سازی محاسبات کنترل اینورتر استفاده می‌شود. این تبدیل بر خلاف تبدیل‌های قبلی مولفه‌های سیستم ساکن سه فاز abc را روی محور‌های سیستم dq که با سرعت ω. در حال چرخش می‌باشد تصویر می‌کند:



معادلات این تبدیل بصورت زیر است:

 

توجه کنید که در این حالت ماتریس تبدیل بصورت تابعی از زاویه θ. می‌باشد و ثابت نیست. می‌توان سرعت چرخش محور q. را دلخواه (سنکرون، غیر سنکرون یا صفر) انتخاب کرد. در تبدیل کلارک اگر مولفه‌های سیستم سه فاز abc متغیر با زمان باشند پس از انتقال به دستگاه αβ مولفه‌ها در این دستگاه نیز با زمان تغییر می‌کند، ولی در تبدیل پارک می‌توان با انتخاب مناسب سرعت چرخش محور dq، مولفه‌های dq مقدار DC داشته باشند:



از DC شدن این مولفه‌ها می‌توان در کنترل موتور‌های الکتریکی بصورت زیر استفاده کرد:

۱. مجزاسازی جریان‌های برای کنترل مجزا گشتاور و شار

۲. استفاده از کنترل کننده PID بدون در نظر گرفتن ورودی سینوسی

همچنین می‌توان اثبات کرد که این تبدیل حافظ توان نیست.