تشریح معیار پایداری راث هرویتز به همراه مثال - بخش دوم

سرویس آموزش و آزمون برق نیوز،  ادامه مقاله تشریح معیار پایداری راث هرویتز به همراه مثال - بخش اول را می توانید مظالعه نمایید.

 

مثال ۲

در این مثال، پایداری یک سیستم مرتبه سوم را بررسی می‌کنیم که معادله مشخصه آن به صورت زیر است:



با توجه به این معادله می‌بینیم که دو قاعده اول برقرارند؛ یعنی همه ضرایب غیرصفر و مثبت هستند. بنابراین، آرایه راث را تشکیل می‌دهیم:


ضرایب آرایه بالا به صورت زیر محاسبه می‌شوند:


اگر مقادیر بالا را در آرایه قرار دهیم، می‌بینیم که در ستون اول تغییر علامت نداریم و در نتیجه سیستم پایدار است:


حالت‌های خاص

در بررسی معیار پایداری راث هرویتز، ممکن است با مواردی خاص در آرایه مواجه شویم که در ادامه، این حالت‌ها را توضیح می‌دهیم.

صفر شدن همه درایه‌های یک سطر

اگر همه عناصر یک سطر صفر باشند، از سطر قبلی آن به‌عنوان چندجمله‌ای کمکی استفاده می‌کنیم. به این ترتیب که داریه‌ها، ضرایب چندجمله‌ای کمکی هستند. ریشه‌های معادله کمکی، محل دقیق ریشه‌های مزدوج مختلط را تعیین می‌کنند که روی محور jωقرار دارند. البته نکته مهم این است که اگر ریشه تکراری روی محور موهومی وجود داشته باشد، سیستم ناپایدار خواهد بود. بنابراین، باید از چندجمله‌ای کمکی برای تعیین تکراری بودن یا نبودن ریشه‌ها استفاده کنیم.

در این فرایند، باید از معادله کمکی نسبت به s. مشتق گرفت و ضرایب معادله حاصل را با درایه‌های صفر سطر اصلی جایگزین کرد. ادامه آرایه راث با استفاده از مقادیر جدید محاسبه می‌شود.

صفر شدن درایه ستون اول یک سطر

در این حالت خاص، درایه اول یک سطر برابر با صفر است. در این حالت، متغیر کوچک اپسیلن (ϵ) را جایگزین صفر کرده و محاسبات را ادامه می‌دهیم. بعد از آنکه کل آرایه تشکیل شد، می‌توانیم مقدار ϵ. را به صفر میل داده و مقدار حدی را محاسبه کنیم. اگر علامت درایه بالای ϵ. مشابه با علامت درایه زیر آن باشد، یعنی یک ریشه موهومی محض داریم.

مثال ۳

محل ریشه‌های معادله مشخصه زیر را بررسی کنید.



حل: آرایه راث به صورت زیر است:



همان‌طور که می‌بینیم، با حالت خاص صفر شدن همه درایه‌های یک سطر مواجه هستیم؛ بنابراین از معادله کمکی کمک می‌گیریم. همان‌گونه که گفتیم، معادله کمکی را با استفاده از سطر قبل از سطر صفر تشکیل می‌دهیم. بنابراین، معادله کمکی را به صورت زیر می‌نویسیم (به توان‌ها و ضرایب متغیر‌ها در معادله کمکی دقت کنید):



معادله کمکی بالا، دو ریشه روی محور jωدارد.

اکنون برای آنکه محاسبات مربوط به آرایه راث را ادامه دهیم، از معادله کمکی مشتق گرفته و ضرایب آن را در سطری قرار می‌دهیم که صفر است.

مشتق معادله کمکی به صورت زیر است:



سطر جدید در آرایه راث بالا نشان داده شده است. می‌بینیم که دو ریشه مزدوج روی محور موهومی، وجود دارد و سایر ریشه‌ها سمت چپ هستند.

مثال ۴

تعداد ریشه‌های سمت راست محور موهومی مربوط به معادله زیر را تعیین کنید.



حل: آرایه راث به صورت زیر است. همان‌طور که می‌بینیم، درایه اول یک سطر صفر شده است. این درایه را با ϵ.جایگزین کرده و محاسبات را ادامه می‌دهیم.



با میل دادن ϵ. به صفر، می‌بینیم که دو بار تغییر علامت در ستون اول جدول راث خواهیم داشت. بنابراین، دو ریشه در سمت راست محور موهومی وجود دارد.

مثال ۵

پایداری سیستم حلقه بسته زیر را بررسی کنید.



حل: با توجه به مطالبی که درباره ساده‌سازی نمودار‌های بلوکی گفتیم، سیستم بالا به صورت زیر ساده می‌شود:



بنابراین، معادله مشخصه به صورت زیر خواهد بود:



آرایه راث را به صورت زیر تشکیل می‌دهیم:



همان‌طور که می‌بینیم، دو تغییر علامت وجود دارد و در نتیجه، سیستم حلقه بسته، دو قطب سمت راست محور موهومی خواهد داشت. بنابراین، سیستم ناپایدار است.

 

منبع: فرادرس