مفاهیم کنترل پیش بین در الکترونیک قدرت- بخش سوم

مدل ریاضی، گسسته‌سازی و پیش‌بینی

به منظور پیش‌بینی متغیر‌های کنترل شده باید ابتدا مدل سیستم را به دست آورد و سپس گسسته کرد. مدل ریاضی سیستم بر اساس قوانین پایه‌ای و ساده فیزیکی و روابط حاکم بر عناصر موجود در مدار و ارتباط آن‌ها با یکدیگر به دست می‌آید. این مدل معمولاً یک یا چند معادله دیفرانسیل است که به عنوان مدل سیستم در فضای حالت بیان می‌شود. پس از آن، مدل گسسته سیستم به دست خواهد آمد.

از چند روش تقریبی یا دقیق می‌توان برای به دست آوردن یک مدل گسسته در زمان برای محاسبه پیش‌بینی متغیر‌ها در FCS-MPC استفاده کرد. نتایج حاصل از روش‌های تقریبی گسسته‌سازی مانند روش اویلر برای سیستم‌های ساده مناسب بوده و با دقت قابل قبولی همراه است. فرض کنید xمتغیر کنترل شده و uنشان دهنده متغیر ورودی و معادله دیفرانسیل مربوط به سیستم به صورت زیر باشد:


‌
می‌توان با استفاده از روش اویلر مشتق را به صورت زیر گسسته کرد:



که در آن، Tsزمان نمونه‌برداری است. در این صورت می‌توان مقدار متغیر را در لحظه بعدی پیش‌بینی کرد:



اگرچه این روش برای پیش‌بینی مناسب است، اما اگر زمان نمونه‌برداری بیش از حد طولانی شود، این تقریب سبب ناپایداری سیستم خواهد شد. همچنین، تقریب اویلر برای سیستم‌های پیچیده‌تر و با مرتبه بالاتر ممکن است با خطای غیرقابل قبول در مدل همراه باشد؛ بنابراین هنگامی که با سیستم‌های پیچیده‌تر و با مرتبه بالاتر سر و کار داریم، روش‌های دقیق‌تر گسسته‌سازی مورد نیاز است. استخراج مدل گسسته به ویژه برای یک سیستم LTI را به صورت دقیق می‌توان با استفاده از روش نگهدار مرتبه صفر (ZOH) برای یک زمان نمونه‌برداری خاص به صورت دقیق انجام داد. بدین منظور فرض کنید مدل فضای حالت زیر داده شده است:


که در آن، Aو B به ترتیب ماتریس حالت و ورودی هستند. با استفاده از روش ZOH و با زمان نمونه‌برداری Ts، می‌توان مدل گسسته دقیق زیر را به دست آورد و متغیر را پیش‌بینی کرد:


شناسایی وضعیت‌های ممکن کلیدزنی

پس از مدل‌سازی سیستم، تمام وضعیت‌های ممکن کلیدزنی و روابط آن‌ها با متغیر‌های ورودی و حالت باید تعیین شود. با در نظر گرفتن تنها دو وضعیت برای کلید (خاموش و روشن)، می‌توان محاسبه وضعیت‌های کلیدزنی ممکن را ساده کرد. در نتیجه، تعداد کل وضعیت‌های کلیدزنی با توجه به پیکربندی مبدل محاسبه خواهد شد. برخی از وضعیت‌ها مانند آن‌هایی که در آن لینک DC منجر به اتصال کوتاه می‌شود مجاز نیست. به عنوان یک قانون کلی، تعداد وضعیت‌های ممکن برای یک مبدل با mشاخه که در هر شاخه n وضعیت کلیدزنی وجود دارد، nm است. برای مثال، برای یک مبدل سه فاز دو سطحی، ۲۳=۸وضعیت ممکن برای کلیدزنی وجود دارد.

تعریف تابع هزینه

تابع هزینه تمایز اصلی MPC با دیگر استراتژی‌های کنترل پیش‌بین است. اساساً این ویژگی تابعی جمعی است که شامل زیر توابع مختلف نشان دهنده خواسته‌های ما از سیستم کنترل است.

تابع هزینه شامل حداقل یک بخش ردیابی مرجع متغیر کنترل شده است که می‌تواند جریان، ولتاژ، گشتاور و ... باشد. همچنین به عنوان جمله‌های اضافه، می‌توان محدودیت‌های سیستم را به تابع هزینه افزود و به طور همزمان در نظر گرفت و عملکرد سیستم را بهینه کرد. این محدودیت‌ها می‌تواند به حداقل رساندن فرکانس کلیدزنی، به حداقل رساندن تلفات و یا رعایت حداکثر جریان مجاز باشد. به منظور تعیین ساختار تابع هزینه در موارد مختلف، ابتدا بدنه اصلی آن تعریف خواهد شد و سپس محدودیت‌ها به آن اضافه می‌شود.

در صورت داشتن تنها یک متغیر کنترل شده، تابع هزینه را می‌توان به شکل زیر بیان کرد:



که در آن، xref (k+۱)مقدار مرجع و x (k+۱) مقدار پیش‌بینی متغیر کنترل شده از مدل گسسته سیستم است. نُرم ||⋅|| معیاری از فاصله بین xref و xاست و می‌توان آن را به عنوان یک قدر مطلق، مربع و یا مقدار انتگرال خطای بین آن‌ها در یک دوره نمونه‌برداری نوشت:


تفاوت بین معادله اول و دوم این است که محاسبه دومی، به هزینه محاسباتی بیشتری نیاز دارد. با این حال، خطای مطلق و مربع منجر به نتایج مشابهی در یک تابع هزینه تک‌جمله‌ای می‌شود. در حالی که، مربع خطا برای زمانی که تابع هزینه شامل جمله‌های اضافه باشد بهتر است. انتگرال خطا در معادله (۹) همه مقادیر پیش‌بینی شده را در بازه Tsدر بر می‌گیرد. بنابراین، مقدار متوسط خطا منجر به ردیابی دقیق‌تر مرجع می‌شود، هرچند محاسبه آن را پیچیده‌تر می‌کند و زمان محاسباتی افزایش خواهد یافت.

اگر متغیر‌های اصلی کنترل شده سیستم بیش از یکی باشد، دو گزینه مختلف برای تابع هزینه وجود دارد. اگر تمام متغیر‌های کنترل شده ماهیت مشابه و یا واحد مشابه داشته باشند، تابع هزینه را می‌توان به صورت مجموع خطا‌ها بین مقدار پیش‌بینی شده و مقدار مرجع نوشت. اما اگر متغیر‌های کنترل شده ماهیت مختلف داشته باشند، یک عامل وزنی برای تنظیم واحد‌ها برای کنترل‌کننده مورد استفاده قرار می‌گیرد. در واقع، عامل وزنی یک ضریب ثابت مثبت است که اهمیت متغیر‌های کنترل شده را تنظیم می‌کند. روش پیدا کردن عامل وزنی تجربی است و با سعی و خطا تعیین می‌شود. همچنین به منظور جبران تفاوت واحد در نرمالیزه کردن متغیر‌ها از ضریب وزنی استفاده می‌شود.

اضافه کردن محدودیت‌های سیستم به تابع هزینه یکی از ویژگی‌های قابل توجه MPC است. این محدودیت‌ها را می‌توان با عوامل وزنی به سادگی به تابع هزینه اضافه کرد که اجازه می‌دهند سطحی از مصالحه بین اهداف کنترلی ایجاد شود. در نتیجه، تمام الزامات کنترل به طور همزمان و بدون نیاز به کنترل‌های اضافه برآورده خواهند شد؛ مزیتی که در کنترل‌کننده‌های کلاسیک دیده نمی‌شود. با این حال، برای اضافه کردن جمله‌ها به تابع هزینه، تأثیر جمله‌های اصلی تا حدی کاهش پیدا می‌کند.

در ادامه، برخی از مهم‌ترین محدودیت‌هایی را که می‌توان به تابع هزینه افزود توضیح می‌دهیم.

کمینه‌سازی فرکانس کلیدزنی: میزان یا تعداد وضعیت‌های کلید که در هر زمان نمونه‌برداری تغییر می‌کند، با اضافه کردن یک جمله همراه با یک عامل وزنی مناسب به حداقل می‌رسد:


که در آن، nتعداد کلیدهاست که موضعشان در وضعیت کلیدزنی جدید S (k+۱) از روشن به خاموش و یا بالعکس تغییر می‌کند. اگر بردار کلیدزنی S به عنوان S= (S۱,S۲,S۳,⋯,SN) تعریف شود که Si وضعیت کلید شماره i است و می‌تواند زمانی که کلید خاموش است صفر و وقتی که روشن است یک باشد، می‌توان تغییر وضعیت همه کلید‌ها (N) را چنین محاسبه کرد:



کمینه‌سازی ریپل ولتاژ و جریان: این مورد را می‌توان با یک جمله اضافه در تابع هزینه به عنوان اختلاف بین مقدار اندازه‌گیری شده ولتاژ در وضعیت فعلی و وضعیت آینده اجرا کرد. شکل کلی افزودن این محدودیت به صورت زیر است:



برای کمینه‌سازی ریپل جریان نیز از همین روش استفاده می‌شود.

تعریف حداکثر جریان و ولتاژ مجاز: این محدودیت به سادگی با اضافه کردن یک جمله غیرخطی اعمال می‌گردد و فقط زمانی فعال می‌شود که مقدار متغیر‌های تعیین شده بالاتر از محدودیت‌ها باشند. به عبارت دیگر، در شرایط عادی این جمله صفر می‌شود و زمانی که حداکثر ولتاژ یا جریان نقض شود، یک مقدار بسیار بزرگ خواهد بود. به عنوان مثال، برای حداکثر جریان مجاز داریم:



که در آن، iجریانی است که باید برای محافظت از تجهیزات محدود شود و flim (i (k+۱))یک تابع غیرخطی و به شکل زیر است:



همچنین برای محدود کردن سطح ولتاژ نیز می‌توان این روش را اعمال کرد.

لازم به ذکر است که هیچ روش تحلیلی یا عددی برای تنظیم عوامل وزنی وجود ندارد. آن‌ها را می‌توان به سادگی با روش‌های تجربی تعیین کرد.

 

منبع: فرا درس