نحوه محاسبه انرژی و توان سیگنال-بخش دوم

طبقه‌بندی سیگنال‌های مختلف بر اساس انرژی و توان سیگنال

سیگنال‌ها را می‌توان بر اساس توان و انرژی آن‌ها به دو گروه اساسی طبقه‌بندی کرد. سیگنال‌هایی که دارای انرژی محدود باشند را سیگنال انرژی و سیگنال‌هایی که دارای توان محدود و غیر صفر باشند را سیگنال توان می‌نامند.

سیگنال انرژی

برای یک سیگنال نوع انرژی (x (t، تابع خودهمبستگی (Autocorrelation) را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

 

این رابطه، دو روش اساسی برای یافتن مقدار انرژی در یک سیگنال را نشان می‌دهد. یک روش از سیگنال در حوزه زمان استفاده می‌کند و روش دیگر از تبدیل سیگنال در حوزه فرکانس بهره می‌برد. مقدار عبارت F [Rx (τ)]=|X (f) |۲، چگالی طیف انرژی (Energy Spectral Density) نام دارد و مقدار انرژی هر هرتز از پهنای باند یا فرکانس‌های مختلف موجود در سیگنال را نشان می‌دهد.

سیگنال توان

برای سیگنال‌هایی که در گروه سیگنال توان طبقه‌بندی می‌شوند نیز می‌توان از بسطی مشابه با سیگنال انرژی استفاده کرد. در این حالت، تابع خودهمبستگی میانگین زمانی (Time-Average Autocorrelation Function) برای سیگنال نوع توان( x (tبه صورت زیر به دست می‌آید:


سیگنال‌های متناوب از نوع سیگنال‌های توان در نظر گرفته می‌شوند. در مورد سیگنال‌های متناوب، تابع خودهمبستگی میانگین زمانی و چگالی طیف توان تا حد قابل توجهی ساده‌سازی می‌شوند. فرض کنید که سیگنال (x (tیک سیگنال متناوب با دوره تناوب T۰ باشد و ضرایب سری فوریه آن برابر با xnدر نظر گرفته شوند. برای به دست آوردن تابع خودهمبستگی میانگین زمانی این سیگنال داریم:



این رابطه می‌تواند تابع خودهمبستگی میانگین زمانی برای یک سیگنال متناوب را محاسبه کند. اگر بسط سری فوریه یک تابع متناوب را در فرمول بالا جایگذاری کنیم، به رابطه زیر می‌رسیم:



با استفاده از این رابطه می‌توان به این نتیجه رسید که تابع خودهمبستگی میانگین زمانی مربوط به یک سیگنال متاوب، خود متناوب بوده و دوره تناوب آن نیز با دوره تناوب سیگنال اصلی برابر است و همچنین ضرایب سری فوریه آن، برابر با مجذور دامنه ضرایب سری فوریه سیگنال اصلی خواهند بود.

برای به دست آوردن چگالی طیف توان یک سیگنال، کافی است که تبدیل فوریه Rx (τ)را به دست آوریم. از آن‌جا که ما با یک تابع متناوب روبه‌رو هستیم، تبدیل فوریه از مجموعه‌ای از ضربه‌ها (Impulses) در حوزه فرکانس تشکیل شده است. این دقیقا همان چیزی است که از قبل انتظار آن را داشتیم؛ زیرا یک سیگنال متناوب، از مجموع سیگنال‌های سینوسی یا توابع نمایی تشکیل شده است و بنابراین توان در فرکانس‌های خاص گسسته‌ای (هارمونیک‌ها) متمرکز شده است. پس می‌توان گفت که چگالی طیف توان در یک سیگنال متناوب، توسط رابطه زیر داده می‌شود:

 

این رابطه، رابطه رایلی (Rayleigh’s Relation) برای توابع متناوب نام دارد. اگر این تابع متناوب از یک سیستم LTI یا خطی نامتغیر با زمان عبور داده شود که پاسخ فرکانسی سیستم برابر با H (f)باشد، آن‌گاه خروجی این سیستم نیز یک سیگنال متناوب خواهد بود. چگالی طیف توان سیگنال خروجی این سیستم را می‌توان با اعمال رابطه رایلی بین چگالی طیف توان سیگنال ورودی و خروجی یک فیلتر به دست آورد؛ بنابراین داریم:

 

 

منبع: فرادرس