تعریف خطای حالت ماندگار - بخش دوم
خطای حالت ماندگار هر سیستمی را که اطلاعات آن موجود باشد، می‌توان با انجام محاسبات به دست آورد. در ادامه، نحوه پیدا کردن خطای حالت ماندگار را برای سیستم‌های کنترل با فیدبک غیر واحد به همراه مثال ارائه می‌شود.
سرویس آموزش و آزمون برق نیوز، در ادامه بخش دوم تعریف خطای حالت ماندگار ارائه می شود.
خطای حالت ماندگار برای سیستم‌های فیدبک غیر واحد
نمودار بلوکی سیستم کنترل حلقه‌بسته زیر را در نظر بگیرید که فیدبک غیر واحد منفی دارد.
برای جلوگیری از تکرار محاسبات طولانی و استفاده از فرمول‌هایی که در بالا به دست آوردیم، سیستم فیدبک غیر واحد را به سیستم فیدبک واحد تبدیل می‌کنیم. برای این کار، یک مسیر فیدبک واحد مثبت و یک مسیر فیدبک واحد منفی را به نمودار بلوکی اضافه می‌کنیم. نمودار بلوکی جدید، به صورت زیر درخواهد آمد:
اگر نمودار بالا را با توجه به قواعدی که درباره نمودار‌های بلوکی گفتیم، ساده کنیم و فیدبک واحد منفی را نگه داریم، نمودار بلوکی معادل، به صورت شکل زیر خواهد بود.
نمودار بلوکی شکل بالا، یک سیستم کنترل حلقه‌بسته با فیدبک واحد منفی با تابع تبدیل
به‌جای G. (s)
است. اکنون می‌توانیم خطای حالت ماندگار را با استفاده از فرمول‌هایی که بیان شد محاسبه کنیم.
نمودار بلوکی سیستم کنترل حلقه‌بسته زیر را در نظر بگیرید که فیدبک غیر واحد منفی دارد.
برای جلوگیری از تکرار محاسبات طولانی و استفاده از فرمول‌هایی که در بالا به دست آوردیم، سیستم فیدبک غیر واحد را به سیستم فیدبک واحد تبدیل می‌کنیم. برای این کار، یک مسیر فیدبک واحد مثبت و یک مسیر فیدبک واحد منفی را به نمودار بلوکی اضافه می‌کنیم. نمودار بلوکی جدید، به صورت زیر درخواهد آمد:
اگر نمودار بالا را با توجه به قواعدی که درباره نمودار‌های بلوکی گفتیم، ساده کنیم و فیدبک واحد منفی را نگه داریم، نمودار بلوکی معادل، به صورت شکل زیر خواهد بود.
نمودار بلوکی شکل بالا، یک سیستم کنترل حلقه‌بسته با فیدبک واحد منفی با تابع تبدیل
به‌جای G. (s)است. اکنون می‌توانیم خطای حالت ماندگار را با استفاده از فرمول‌هایی که بیان شد محاسبه کنیم.
نوع سیستم و خطای حالت ماندگار
با دانستن ثابت‌های خطای استاتیکی و نوع سیستم، می‌توان خطای حالت ماندگار را مشخص کرد. «نوع سیستم» (System Type)، به عنوان تعداد انتگرال‌گیر‌های خالصی تعریف می‌شود که در مسیر پیش‌ِروی یک سیستم فیدبک واحد قرار دارند. اگر نمودار بلوکی سیستم به صورت زیر باشد، نوع سیستم برابر با n. خواهد بود. اینکه انتگرال‌گیر بخشی از کنترل‌کننده یا سیستم باشد، فرقی ندارد.
بنابراین، یک سیستم می‌تواند نوع صفر، نوع یک، نوع دو و ... باشد. جدول‌های زیر، خطای حالت ماندگار را برای سیستم‌های نوع صفر، یک و دو نشان می‌دهند.
مثال
نمودار بلوکی زیر را در نظر بگیرید.
که در آن، تابع تبدیل G. به صورت زیر است:
از آن‌جایی که سیستم نوع یک است، خطای حالت ماندگار برای ورودی پله وجود ندارد و برای ورودی سهمی، خطا بی‌نهایت خواهد بود. تنها ورودی که با اعمال آن به سیستم، خطای حالت ماندگار محدود خواهیم داشت، ورودی شیب است. می‌خواهیم K. را به گونه‌ای تعیین کنیم که خطای حالت ماندگار سیستم حلقه‌بسته برای ورودی مرجع شیب، برابر با ۰.۱ باشد. ابتدا بهره K=۱را با استفاده از نرم‌افزار متلب بررسی می‌کنیم:
همان‌طور که می‌بینیم، خطای حالت ماندگار این سیستم بسیار بزرگ است، زیرا در زمان ثانیه ۲۰، خروجی تقریباً ۱۶ و ورودی ۲۰ است (خطای حالت ماندگار تقریباً برابر با ۴است). مسئله را به شکل دیگری حل می‌کنیم.
همان‌طور که می‌دانیم، خطای حالت ماندگار باید برابر با ۰.۱باشد. بنابراین، برای حل مسئله داریم:
اکنون پاسخ به ورودی شیب را برای K=۳۷.۳۳بررسی می‌کنیم:
برای آنکه دید بهتری داشته باشیم، بزرگ‌نمایی پاسخ را می‌بینیم. بدین منظور، پاسخ را بین زمان‌های ۳۹.۹و ۴۰.۱ثانیه انتخاب می‌کنیم:
اگر محاسبات مربوط به شکل بالا را انجام دهیم، می‌بینیم که خطای حالت ماندگار، دقیقاً همان مقدار ۰.۱مطلوب است.
اکنون مسئله را به صورت زیر تغییر می‌دهیم:
نمودار بلوکی زیر را در نظر بگیرید.
که در آن، تابع تبدیل G. به صورت زیر است:
از آن‌جایی که سیستم نوع یک است، خطای حالت ماندگار برای ورودی پله وجود ندارد و برای ورودی سهمی، خطا بی‌نهایت خواهد بود. تنها ورودی که با اعمال آن به سیستم، خطای حالت ماندگار محدود خواهیم داشت، ورودی شیب است. می‌خواهیم K. را به گونه‌ای تعیین کنیم که خطای حالت ماندگار سیستم حلقه‌بسته برای ورودی مرجع شیب، برابر با ۰.۱ باشد. ابتدا بهره K=۱را با استفاده از نرم‌افزار متلب بررسی می‌کنیم:
همان‌طور که می‌بینیم، خطای حالت ماندگار این سیستم بسیار بزرگ است، زیرا در زمان ثانیه ۲۰، خروجی تقریباً ۱۶ و ورودی ۲۰ است (خطای حالت ماندگار تقریباً برابر با ۴است). مسئله را به شکل دیگری حل می‌کنیم.
همان‌طور که می‌دانیم، خطای حالت ماندگار باید برابر با ۰.۱باشد. بنابراین، برای حل مسئله داریم:
اکنون پاسخ به ورودی شیب را برای K=۳۷.۳۳بررسی می‌کنیم:
برای آنکه دید بهتری داشته باشیم، بزرگ‌نمایی پاسخ را می‌بینیم. بدین منظور، پاسخ را بین زمان‌های ۳۹.۹و ۴۰.۱ثانیه انتخاب می‌کنیم:
اگر محاسبات مربوط به شکل بالا را انجام دهیم، می‌بینیم که خطای حالت ماندگار، دقیقاً همان مقدار ۰.۱مطلوب است.
اکنون مسئله را به صورت زیر تغییر می‌دهیم:
اکنون می‌خواهیم C. (s)را به گونه‌ای تعیین کنیم که برای یک ورودی پله، به خطای حالت ماندگار صفر برسیم.
با توجه به جدول‌هایی که ارائه کردیم، می‌توان گفت که خطای حالت ماندگار سیستم نوع دو به ورودی شیب، برابر با صفر است. بنابراین، می‌توان با اضافه کردن یک انتگرال‌گیر (یک قطب در مبدأ)، به سادگی خطای حالت ماندگار را صفر کرد.
اگر مقداری بزرگ‌نمایی کنیم، می‌بینیم که اندکی نوسان وجود دارد. البته در حالت ماندگار، خطا مطابق انتظار برابر با صفر است. شکل زیر، پاسخ حول ثانیه ۲۴۰را نشان می‌دهد.
همان‌طور که می‌بینیم، خطای حالت ماندگار صفر است.
نکته: خطای حالت ماندگار برای سیستم‌های کنترل حلقه‌بسته ناپایدار، بی‌معنی است و فقط برای سیستم‌های کنترل حلقه‌بسته پایدار محاسبه می‌شود. این بدین معنی است که باید پایداری هر سیستم کنترل را قبل از یافتن خطای حالت ماندگار بررسی کرد.
با توجه به جدول‌هایی که ارائه کردیم، می‌توان گفت که خطای حالت ماندگار سیستم نوع دو به ورودی شیب، برابر با صفر است. بنابراین، می‌توان با اضافه کردن یک انتگرال‌گیر (یک قطب در مبدأ)، به سادگی خطای حالت ماندگار را صفر کرد.
اگر مقداری بزرگ‌نمایی کنیم، می‌بینیم که اندکی نوسان وجود دارد. البته در حالت ماندگار، خطا مطابق انتظار برابر با صفر است. شکل زیر، پاسخ حول ثانیه ۲۴۰را نشان می‌دهد.
همان‌طور که می‌بینیم، خطای حالت ماندگار صفر است.
نکته: خطای حالت ماندگار برای سیستم‌های کنترل حلقه‌بسته ناپایدار، بی‌معنی است و فقط برای سیستم‌های کنترل حلقه‌بسته پایدار محاسبه می‌شود. این بدین معنی است که باید پایداری هر سیستم کنترل را قبل از یافتن خطای حالت ماندگار بررسی کرد.
منبع: فرادرس
از ارسال دیدگاه های نا مرتبط با متن خبر، تکرار نظر دیگران، توهین به سایر کاربران و ارسال متن های طولانی خودداری نمایید.
لطفا نظرات بدون بی احترامی، افترا و توهین به مسئولان، اقلیت ها، قومیت ها و ... باشد و به طور کلی مغایرتی با اصول اخلاقی و قوانین کشور نداشته باشد.
در غیر این صورت، «برق نیوز» مطلب مورد نظر را رد یا بنا به تشخیص خود با ممیزی منتشر خواهد کرد.