پاسخ سیستم های مرتبه دوم-بخش دوم
در این مقاله برخی ویژگی‌های مهم پاسخ گذرا بررسی می‌شود.
سرویس آموزش و آزمون برق نیوز،، برخی ویژگی‌های مهم پاسخ گذرا را بیان می‌کنیم.
زمان صعود
ابتدا یک سیستم مرتبه اول را در نظر بگیرید:
سیستم بالا، یک قطب پایدار s=−aدارد. با استفاده از قضیه مقدار نهایی، بهره DC سیستم، برابر با ۱به دست می‌آید.
پاسخ پله این سیستم را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد:
زمان صعود (Rise Time) را به عنوان مدت زمانی تعریف می‌کنیم که طول می‌کشد تا پاسخ سیستم از ۱۰%به ۹۰% مقدار حالت ماندگار (پاسخ پله) برسد. زمان صعود را با trنشان می‌دهند. شکل زیر، زمان صعود پاسخ پله یک سیستم مرتبه اول را نشان می‌دهد.
شکل ۳: زمان صعود یک سیستم مرتبه اول
زمان صعود trپاسخ پله y. (t) =۱ (t) –e−at را می‌توان به صورت تحلیلی و با استفاده از تعریف به دست آورد. فرض می‌کنیم t۰.۱ و t۰.۹، لحظاتی هستند که در پاسخ در آن‌ها، به ترتیب، به ۱۰% و ۹۰%مقدار حالت ماندگار می‌رسد (برای نخستین بار). در نتیجه، زمان صعود به صورت زیر به دست می‌آید:
فراجهش و زمان نشست
اکنون به سیستم مرتبه دوم بر می‌گردیم. مجدداً سیستم مرتبه دوم کُندمیرای زیر را در نظر بگیرید:
که در آن، σ=ζωn و ωd=ωn√۱−ζ۲ هستند و 1>ζ است.
پاسخ پله y. (t) =۱–e–σt (cos (ωdt) +σωdsin (ωdt)) سیستم در شکل ۴ نشان داده شده است
شکل ۴: پاسخ یک سیستم مرتبه دوم (کُندمیرا)
علاوه بر زمان صعود، دو ویژگی فراجهش (Overshoot) و زمان نشست (Settling Time) را نیز می‌توان بررسی کرد:
زمان صعود tr: مدت زمانی که ۰.۱y (∞) به ۰.۹y (∞)می‌رسد.
فراجهش Mpو زمان پیک ( Mpبر حسب درصد فراجهش نیز بیان می‌شود).
زمان نشست ts: نخستین باری است که پاسخ گذرا به محدوده مشخص کوچکی از y. (∞) می‌رسد و در آن محدوده باقی می‌ماند. معمولاً محدوده ۵% پاسخ حالت ماندگار را برای زمان نشست در نظر می‌گیریم. گفتنی است که مقدار پیش‌فرض برای محدوده تغییرات در تابع stepinfo () نرم‌افزار متلب، ۲%ست.
در حالت کلی، وضعیت مطلوب برای پاسخی با صعود و نشست سریع و فراجهش کم، باید شرایط زیر را داشته باشد:
trکوچک
Mpکوچک
tpکوچک
tsکوچک.
اما در عمل، برآورده کردن همه شرایط فوق، ناممکن است، زیرا مثلاً کاهش trبه افزایش Mp منجر می‌شود.
علاوه بر زمان صعود، دو ویژگی فراجهش (Overshoot) و زمان نشست (Settling Time) را نیز می‌توان بررسی کرد:
زمان صعود tr: مدت زمانی که ۰.۱y (∞) به ۰.۹y (∞)می‌رسد.
فراجهش Mpو زمان پیک ( Mpبر حسب درصد فراجهش نیز بیان می‌شود).
زمان نشست ts: نخستین باری است که پاسخ گذرا به محدوده مشخص کوچکی از y. (∞) می‌رسد و در آن محدوده باقی می‌ماند. معمولاً محدوده ۵% پاسخ حالت ماندگار را برای زمان نشست در نظر می‌گیریم. گفتنی است که مقدار پیش‌فرض برای محدوده تغییرات در تابع stepinfo () نرم‌افزار متلب، ۲%ست.
در حالت کلی، وضعیت مطلوب برای پاسخی با صعود و نشست سریع و فراجهش کم، باید شرایط زیر را داشته باشد:
trکوچک
Mpکوچک
tpکوچک
tsکوچک.
اما در عمل، برآورده کردن همه شرایط فوق، ناممکن است، زیرا مثلاً کاهش trبه افزایش Mp منجر می‌شود.
فرمول‌های مشخصات پاسخ در حوزه زمان
در این بخش، فرمول‌های مربوط به مشخصات پاسخ گذرا را بیان می‌کنیم.
در این بخش، فرمول‌های مربوط به مشخصات پاسخ گذرا را بیان می‌کنیم.
زمان صعود
در حالت کلی، محاسبه زمان صعود trبه صورت تحلیلی کار دشواری است؛ اما با نرمال کردن مقیاس زمان به صورت t→ωnt، می‌توان به صورت تجربی مقدار تقریبی زمان صعود را به دست آورد:
بنابراین، می‌توانیم از tr≈۱.۸ωnاستفاده کنیم که تقریب مناسبی برای ζ≈۰.۵است.
فراجهش و زمان پیک
در شکل ۴، زمان پیک tpاولین لحظه t>۰ است که در آن، y′ (t) =۰ برقرار است. پاسخ و مشتق آن به صورت زیر هستند:
با استفاده از رابطه مشتق پاسخ و y′ (t) =۰، زمان پیک، برابر است با tp=π/ωd.
برای محاسبه مقدار فراجهش Mp، زمان پیک tp را در معادله y. (t)قرار می‌دهیم:
فرمول Mpدقیق است.
فرمول Mpدقیق است.
زمان نشست
زمان نشست، آخرین لحظه‌ای است که پاسخ پله به محدوده نوار خطای ۵%وارد می‌شود و از آن خارج نمی‌شود. بنابراین، می‌توان نوشت:
در شکل قبل، y. (∞) =۱است. بنابراین، نوار خطا را می‌توان به صورت زیر نوشت:
که در آن، نمایی کاهشی e−σtهمان جمله‌ای است که باید به آن توجه کنیم، زیرا توابع sin و cos به ۱ محدود هستند. بنابراین، e−σts≤۰.۰۵ منجر به رابطه ts=–ln۰.۰۵/σ≈۳/σخواهد شد.
به عنوان جمع‌بندی، برای مشخصات حوزه زمان یک سیستم مرتبه دوم کُندمیرایِ
فرمول‌های زیر را داریم:
از ارسال دیدگاه های نا مرتبط با متن خبر، تکرار نظر دیگران، توهین به سایر کاربران و ارسال متن های طولانی خودداری نمایید.
لطفا نظرات بدون بی احترامی، افترا و توهین به مسئولان، اقلیت ها، قومیت ها و ... باشد و به طور کلی مغایرتی با اصول اخلاقی و قوانین کشور نداشته باشد.
در غیر این صورت، «برق نیوز» مطلب مورد نظر را رد یا بنا به تشخیص خود با ممیزی منتشر خواهد کرد.