مدل موج سیار خط انتقال - بخش اول

سرویس آموزش و آزمون برق نیوز، در این مقاله، درباره مدل موج سیار خط بحث خواهیم کرد. یک موج سیار (Travelling Wave) روی خط انتقال، اغتشاش گذرایی است که با سرعت ثابتی در طول خط حرکت می‌کند و طی این حرکت شکل آن ثابت باقی می‌ماند. تصویر زیر این موضوع را به خوبی نشان می‌دهد. مثال‌هایی از این اغتشاش صاعقه، حالت گذرای سوئیچینگ، خطا‌ها و… هستند.

شکل ۱: یک موج سیار

در این مطلب، مدل‌های حوزه زمان مختلفی را برای امواج سیار روی خط انتقال به دست خواهیم آورد. بدین منظور، از ساده‌ترین حالت، یعنی خط تکفاز بدون تلفات شروع کرده و در نهایت آن را برای خط تکفاز با تلفات بیان خواهیم کرد.

مدل موج سیار خطوط تکفاز بدون تلفات

یک بخش کوچک به طول Δxمتر را از خط انتقال تکفاز بدون تلفات شکل ۲ در نظر بگیرید. این مدل، مشابه همان مدل خط با پارامتر توزیع شده کلاسیک است، با این تفاوت که در این مدل، ولتاژ‌ها و جریان‌ها توابعی از فاصله x و زمان t و پارامتر‌هایی حقیقی (نه به صورت فازور) هستند. در مدل پارامتر توزیع شده کلاسیک، ولتاژ‌ها و جریان‌ها در حالت ماندگار محاسبه می‌شوند و توابعی از فقط فاصله xهستند.

شکل ۲: مدل موج سیار خط؛ بخش کوچکی از یک خط تکفاز بدون تلفات

استخراج معادلات ولتاژ و جریان

با تحلیل این مدار با استفاده از KVL و KCL جفت معادله زیر به دست می‌آید:



نکات زیر را در نظر داشته باشید:

ولتاژ سلف برابر با v=Ldidtو جریان گذرنده از خازن i=Cdvdt است.
از مشتقات جزئی استفاده می‌کنیم، زیرا ولتاژ‌ها و جریان‌ها توابعی از زمان و فاصله هستند.

با بازنویسی معادلات بالا، داریم:



با اعمال حد، معادلات معروف تلگرافی (Telegrapher’s equations) را به دست می‌آوریم:



با مشتق‌گیری از معادله ولتاژ نسبت به xو جریان نسبت به tداریم:


اکنون با جایگذاری معادله (۴) در معادله (۳)، می‌توان نوشت:



به طور مشابه، می‌توانستیم از معادله جریان نسبت به xو از معادله ولتاژ نسبت به tمشتق بگیریم و جریان را از معادله به دست آوریم:


زوج معادلات (۵) و (۶) به عنوان معادلات موج خط انتقال شناخته می‌شوند.

جواب عمومی هر یک از این معادلات را می‌توان با استفاده از فرمول دالامبر (d’Alembert’s Formula) پیدا کرد:




اهمیت معادلات + و –

معادلات ولتاژ و جریان زیر را داریم:



اما اهمیت (i+ (x–vtو (i− (x+vt در چیست؟

توجه کنید که در زمان t=۰، تابع (i+ (xیک شکل موج توزیع شده در فضا را در طول خط انتقال نشان می‌دهد (شکل ۳).

شکل ۳: شکل موج نوعی (i+ (xدر زمان t=۰

اکنون می‌خواهیم بررسی کنیم که در زمان t=۱sچه اتفاقی می‌افتد. در این لحظه تابع i+ (x–v) شکل مشابهی با تابع بالا دارد، اما به اندازه vمتر به سمت راست جابه‌جا شده است.

شکل ۴: شکل موج نوعی (i+ (x–vدر زمان t=۱sآنچه در اینجا می‌توانیم نتیجه بگیریم، این است که تابع (i+ (x–vtیک شکل موج اختیاری است که شکل آن تغییری نمی‌کند، اما با گذشت زمان با سرعت vمتر بر ثانیه به سمت انتهای خط حرکت می‌کند. در این حالت یک موج سیار رو به جلو را پیش‌سو (Forward Travelling Wave) داریم.

با استدلال‌های مشابه می‌توان نتیجه گرفت که تابع (i− (x+vtیک شکل موج اختیاری است که در جهت عکس حرکت می‌کند (یعنی به سمت ابتدای خط). در این حالت یک موج سیار رو به عقب یا پس‌سو (Backward Travelling Wave) خواهیم داشت.