نحوه محاسبه انرژی و توان سیگنال-بخش اول

سرویس آموزش و آزمون برق نیوز، انرژی و توان سیگنال (Energy and Power of Signal) دارای تعریف متفاوتی نسبت به تعریف انرژی و توان در فیزیک هستند. در فیزیک، انرژی برابر با کار و توان برابر با کار در واحد زمان تعریف می‌شود. اما در علم پردازش سیگنال، انرژی و توان سیگنال بدون واحد فیزیکی در نظر گرفته می‌شوند؛ زیرا سیگنال‌ها ممکن است نشان‌دهنده کمیت‌های فیزیکی مختلفی باشند. می‌توان گفت انرژی و توان سیگنال را بر اساس اندازه سیگنال به دست می‌آورند. در این مطلب قصد داریم به نحوه محاسبه انرژی و توان سیگنال بپردازیم و دو گروه مهم از سیگنال‌ها، یعنی سیگنال‌های توان و سیگنال‌های انرژی را تعریف کنیم.

اندازه سیگنال

در پردازش سیگنال، یک سیگنال به صورت تابعی از زمان در نظر گرفته می‌شود. عبارت «اندازه سیگنال» برای اشاره به قدرت یک سیگنال به کار برده می‌شود. دانستن اندازه سیگنال در کاربرد‌های مختلف، امری ضروری محسوب می‌شود. به عنوان مثال، در اندازه گیری الکتریکی ممکن است نیاز داشته باشیم مقدار ولتاژ و جریان مورد نیاز برای روشن کردن یک نمایش‌گر LCD رابدانیم و تفاوت مقادیر به دست آمده با مقادیر لازم برای روشن کردن نمایش‌گر CRT را با هم مقایسه کنیم. این دو LCD با یکدیگر متفاوت هستند و بنابراین مقدار این مولفه‌ها نیز با یکدیگر تفاوت خواهد داشت.

اندازه یک سیگنال فرضی را می‌توان از روش‌های مختلفی به دست آورد. مساحت ناحیه زیر منحنی یک سیگنال که توسط یک تابع ریاضی توصیف شده است، ممکن است روشی مناسب برای به دست آوردن اندازه سیگنال محسوب می‌شود. توجه کنید که یک سیگنال می‌تواند هم مقادیر مثبت و هم مقادیر منفی در خود داشته باشد. به همین دلیل است که مساحت برخی نواحی در یک سیگنال، منفی می‌شود. در نتیجه، ممکن است مقادیر مساحت‌های محاسبه شده گاهی به صورت کامل و یا قسمتی از یکدیگر را خنثی کنند و منجر به نتایج نادرست شوند.

پس می‌توان گفت که مساحت زیر منحنی، روشی مناسب برای محاسبه اندازه سیگنال نیست. حال دو روش برای محاسبه این مقدار داریم. در روش اول، می‌توان مساحت زیر منحنی قدر مطلق سیگنال را به دست آورد و در روش دوم، مساحت زیر مجذور نمودار سیگنال را برای محاسبه اندازه سیگنال مورد استفاده قرار می‌دهیم.

در حالت کلی، روش دوم از محبوبیت بالاتری برخوردار است؛ زیرا این روش از لحاظ ریاضی معقول‌تر است و علاوه بر این، شباهت زیادی به نرم اقلیدسی یا نرم L۲ دارد که در تکنیک‌های شناسایی سیگنال مورد استفاده قرار می‌گیرد. نرم اقلیدسی به این دلیل بسیار مورد استفاده قرار می‌گیرد که اندازه‌گیری بهتری از فاصله بین دو نقطه در سیگنال را فراهم می‌آورد. این فاصله را در اصطلاح، فاصله اقلیدسی می‌گویند.

انرژی سیگنال

بنابراین، با در نظر گرفتن روش دوم، اندازه سیگنال را می‌توان به صورت مساحت ناحیه زیر مجذور سیگنال تعریف کرد. در نتیجه، انرژی سیگنال پیوسته با زمان و مختلط x (t)نیز به صورت زیر محاسبه می‌شود:


در تصویر زیر نحوه به دست آوردن انرژی سیگنال با استفاده از سطح زیر نمودار مجذور سیگنال x (t)نشان داده شده است.

به دست آوردن انرژی سیگنال با استفاده از سطح زیر نمودار مجذور سیگنال x (t)

اگر سیگنال x (t)حقیقی باشد، بر خلاف سیگنال‌های مختلط به عملگر قدر مطلق (برای به دست آوردن اندازه سیگنال) نیازی نیست. در پردازش سیگنال، فرمول به دست آمده در بالا را انرژی سیگنال می‌نامند. این کمیت در واقع بیانی از قدرت (Strength) یک سیگنال محسوب می‌شود. موضوع مهم دیگر این است که فرمول انرژی سیگنال بالا را می‌توان به هر سیگنالی اعمال کرد و اهمیتی ندارد که آیا کمیت انرژی تعریف شده برای آن سیگنال، با مفهوم فیزیکی انرژی سازگار است یا خیر. اگر سیگنال متناظر با یک کمیت فیزیکی باشد، آن‌گاه تعریف بالا برابر با انرژی نهفته در آن کمیت خواهد بود. اگر سیگنال، از نوع الکتریکی باشد، آن‌گاه تعریف بالا، مجموع انرژی سیگنال بر حسب ژول را نشان می‌دهد که در یک مقاومت ۱ اهمی تلف می‌شود.

محاسبه انرژی فیزیکی سیگنال‌های جریان و ولتاژ

برای دانستن انرژی واقعی سیگنال الکتریکی (E)، باید از مقدار بار Z که سیگنال درایو می‌کند و نیز ذات سیگنال (ولتاژ یا جریان) مطلع بود. برای یک سیگنال ولتاژ، معادله بالا را باید توسط یک فاکتور ۱/Zمقیاس‌بندی کرد.



در این فرمول‌ها، Zبرابر با مقدار امپدانسی است که توسط سیگنال x (t) درایو می‌شود و Ex، انرژی سیگنال (عبارت پردازش سیگنال) و Eبرابر با انرژی سیگنال به صورت یک کمیت فیزیکی در نظر گرفته می‌شود.

انرژی سیگنال‌های گسسته در زمان

در فضای گسسته، انرژی یک سیگنال را می‌توان توسط عبارت ریاضی زیر محاسبه کرد:



واضح است که انرژی یک سیگنال فقط زمانی محدود می‌ماند که مقدار مجموع محاسبه شده توسط فرمول بالا، به مقدار محدودی همگرا شود. محدود ماندن سیگنال نشان دهنده جمع‌پذیر بودن مربعات آن سیگنال در نظر گرفته می‌شود. سیگنالی که در این شرایط صدق کند، سیگنال انرژی محدود نامیده می‌شود. اما اگر مقدار یک سیگنال نسبت به زمان کاهش نیابد چه اتفاقی می‌افتد؟ به عبارت دیگر اگر سیگنال مانند یک موج سینوسی پیوسته به صورت متناوب تا بی‌نهایت تکرار شود، چه شرایطی پیش می‌آید؟

در این شرایط می‌توان گفت که انرژی سیگنال برابر با بی‌نهایت می‌شود و مربع چنین سیگنالی دیگر جمع‌پذیر نخواهد بود. در نتیجه به کمیت قابل اندازه‌گیری دیگری برای غلبه بر این مشکل نیاز داریم. این کمیت توان (Power) نام دارد.

توان سیگنال

توان یک سیگنال به صورت مقدار انرژی مصرف شده در واحد زمان تعریف می‌شود. این کمیت، زمانی که انرژی یک سیگنال به بی‌نهایت برود و یا مربع آن جمع‌پذیر نباشد، مفید خواهد بود. برای سیگنالی که مجذور آن جمع‌پذیر نباشد، توان را با در نظر گرفتن سیگنال در بازه‌های زمانی مشخصی محاسبه می‌کنند. مراحل انجام این کار به صورت زیر خواهد بود:

سیگنال را در بازه مشخص و محدودی از زمان در نظر بگیرد.
انرژی سیگنال Exرا در طول این بازه محدود محاسبه کنید.
مقدار انرژی به دست آمده را بر تعداد نمونه‌های در نظر گرفته شده (N) تقسیم کنید.
حد (Limit) نمونه‌های سیگنال را به سمت بی‌نهایت میل دهید (N→∞). در این شرایط توان کلی سیگنال به دست می‌آید.

در حوزه زمان گسسته، توان کلی سیگنال توسط فرمول زیر محاسبه می‌شود:



تنها تفاوت این فرمول‌ها با فرمول قبلی در تعداد نمونه‌های در نظر گرفته شده برای محاسبه است. در این فرمول‌ها مخرج کسر متناسب با تعداد نمونه‌ها تغییر می‌کند.

توان در سیگنال‌های متناوب

یک سیگنال متناوب پیوسته با زمان x (t)با دوره تناوب T۰را در نظر بگیرید. نمونه‌ای از چنین سیگنالی در تصویر زیر نشان داده شده است.

سیگنال متناوب پیوسته با زمان

برای این سیگنال، انرژی که توسط فرمول ذکر شده محاسبه می‌شود، دارای مقدار بی‌نهایت است. از آن‌جا که توان یک سیگنال نیز از میانگین انرژی سیگنال در واحد زمان به دست می‌آید، در نتیجه توان به صورت زیر خواهد بود:



در فرمول بالا، t۰هر زمان تصادفی است که از آن لحظه دوره تناوب را محاسبه می‌کنیم. چون سیگنال متناوب است، t۰می‌تواند به صورت تصادفی و دلخواه انتخاب شود. علی رغم این‌که کدام بازه زمانی را برای اندازه‌گیری انرژی سیگنال انتخاب می‌کنیم، مادامی که انرژی را در یک بازه برابر با دوره تناوب سیگنال اندازه بگیریم، نتیجه یکسانی به دست خواهد آمد؛ زیرا سیگنال متناوب است.

اگر سیگنال مورد نظر، گسسته با زمان و متناوب با دوره تناوب N۰باشد، آن‌گاه توان سیگنال به صورت زیر محاسبه می‌شود:



دقیقا همانند سیگنال پیوسته با زمان، انتخاب n۰به صورت تصادفی بوده و هیچ تاثیری در نتیجه نهایی نخواهد داشت.