پاسخ سیستم های مرتبه دوم-بخش اول

قبلاً با نمایش توابع تبدیل در سیستم‌های کنترل آشنا شدیم. دیدیم که توابع تبدیل قطب‌های حقیقی یا مختلط دارند. شکل کلی تابع تبدیل یک سیستم مرتبه دوم به صورت زیر بیان می‌شود:



که در آن:

ζ>۰و ωn>۰ پارامتر‌هایی در R>۰هستند.
مخرج تابع تبدیل، یک چندجمله‌ای یکین (Monic) است. پارامتر ζ.، میرایی یا ضریب میرایی، و ωnفرکانس طبیعی نامیده می‌شوند.
بهره DC تابع تبدیل H. (s)(اگر وجود داشته باشد) برابر با ۱است.

ریشه‌های معادله درجه دوم مخرج تابع تبدیل، به صورت زیر هستند:



همان‌طور که می‌بینیم، با تغییر ζ.، طبیعت قطب‌ها نیز تغییر خواهد کرد:

اگر ζ>۱، هر دو قطب حقیقی و منفی هستند.
اگر ζ=۱، دو قطب تکراری منفی وجود دارد.
اگر اگر ζ<1، با دو قطب مختلط s=−σ±jωd مواجه خواهیم بود که بخش حقیقی آن منفی است و تساوی‌های σ=ζωn و ωd=ωn√1−ζ2را داریم.

سه حالت بالا، به ترتیب، تُندمیرا (Overdamped)، میرای بحرانی (Critically Damped) و کُندمیرا (Underdamped) نامیده می‌شوند. اگر ζ=0باشد، میرایی در سیستم نخواهد بود (ωd=ωn).

تابع تبدیل سیستم کُندمیرای زیر را در نظر بگیرید:



قطب‌های این سیستم، به صورت زیر هستند:‌



شکل 1: محل قطب‌های سیستم مرتبه دوم کُندمیرا

 

اگر مجذور قسمت‌های حقیقی و موهومی قطب‌ها را با هم جمع کنیم، به معادله یک دایره خواهیم رسید:



در شکل 1، رابطه نیز برقرار است.

پاسخ ضربه سیستم به صورت زیر قابل محاسبه است:‌



به طور مشابه، می‌توان پاسخ پله را به صورت زیر محاسبه کرد:‌



نمودار پاسخ پله سیستم مرتبه دوم کُندمیرا، برای مقادیر مختلف ζدر شکل زیر نشان داده شده است.

شکل 2: پاسخ پله یک سیستم مرتبه‌ دوم کُندمیرا به ازای مقادیر مختلف ζ

با توجه به شکل بالا، نرخ میرایی نمایی پاسخ پله، به بخش حقیقی قطب‌های مختلط R(s)=–σ=−ζωnبستگی دارد؛ در حالی که بخش موهومی، نوسانی بودن پاسخ را نشان می‌دهد. به همین دلیل است که ωd=ωn√1−ζ2فرکانس طبیعی میرا نامیده می‌شود.

همان‌طور که گفتیم، پاسخ پله تابع تبدیل سیستم مرتبه دوم کُندمیرایِ



به صورت زیر است:



که در آن، σ=ζωnو ωd=ωn√1−ζ2فرکانس طبیعی میرا است.

در ادامه، خواهیم دید که ضریب میرایی ζو فرکانس طبیعی ωn ویژگی‌های مهمی از بخش گذرای پاسخ پله را تعیین می‌کنند.