کد خبر: ۳۶۹۹۸
تاریخ انتشار : ۱۴:۵۵ - ۰۴ اسفند ۱۳۹۷
«مولفه‌های متقارن» (Symmetrical Components)، یک روش تجزیه و تحلیل ریاضی برای نمایش مجموعه فازور‌ها به سه مجموعه فازور مجزا و مستقل (دو مجموعه متعادل و یک مجموعه با فازور‌های یکسان) است. اولین بار، «چارلز لگیت فورتسکیو» در سال ۱۹۱۸ این روش را ارائه و تحلیل سیستم‌های چندفاز را ساده کرد. فورتسکیو تبدیلی را معرفی کرد که ۲nدرجه آزادی و مزیت متقارن بودن را دارد.
سرویس آموزش و آزمون برق نیوز، «مولفه‌های متقارن» (Symmetrical Components)، یک روش تجزیه و تحلیل ریاضی برای نمایش مجموعه فازور‌ها به سه مجموعه فازور مجزا و مستقل (دو مجموعه متعادل و یک مجموعه با فازور‌های یکسان) است. اولین بار، «چارلز لگیت فورتسکیو» (Charles LeGeyt Fortescue) در سال ۱۹۱۸ این روش را ارائه و تحلیل سیستم‌های چندفاز را ساده کرد. فورتسکیو تبدیلی را معرفی کرد که ۲nدرجه آزادی و مزیت متقارن بودن را دارد.

تبدیل پایه مولفه‌های متقارن

یک مجموعه دلخواه n. فاز را در نظر بگیرید که ۲nدرجه آزادی دارد؛ یعنی هر فازور، یک اندازه و یک زاویه فاز مستقل دارد. در این آموزش، مجموعه سه‌فاز را بررسی می‌کنیم که در مهندسی برق مدرن بسیار کاربردی است. مجموعه ولتاژ سه‌فاز را می‌توان به‌صورت مجموع مؤلفه‌های زیر نشان داد:

مولفه‌های متقارن به بیان ساده

که در آن، Va، Vb و Vcیک مجموعه فازور ولتاژ دلخواه (متعادل یا غیرمتعادل) هستند.

Va,۰، Vb,۰ و Vc,۰فازور‌های ولتاژ توالی صفر هستند.
Va,۱، Vb,۱ و Vc,۱فازور‌های ولتاژ توالی مثبت هستند.
Va,۲، Vb,۲ و Vc,۲فازور‌های ولتاژ توالی منفی هستند.

درواقع، هر فازور اصلی را به ترکیبی خطی از سه فازور تجزیه کرده‌ایم. اما این کار سیستم را پیچیده‌تر نمی‌کند؟ پیش‌تر شش درجه آزادی (یعنی دو درجه آزادی برای هر فاز) داشتیم، اما اکنون هجده درجه آزادی داریم. پاسخ در قیودی است که برای فازور‌های جدید وجود دارد:

فازور‌های توالی مثبت، متعادل و کاملاً متقارن هستند. این بدین معنی است که می‌توان مجموعه سه‌فاز را با استفاده از فقط یک فازور مرجع (انتخاب آن اختیاری است، اما معمولاً فاز a. انتخاب می‌شود) بیان کرد. بنابراین:

مولفه‌های متقارن به بیان سادهکه در آن، a. اپراتور چرخش ۱۲۰∘ (ej۲π۳) است.

یک قید مشابه برای فازور‌های توالی منفی وجود دارد. این فازور‌ها نیز باید متعادل و متقارن باشند. اما توالی آن‌ها مخالف فازور‌های توالی مثبت است؛ یعنی پیک فازور‌های توالی منفی، با ترتیبی معکوسِ فازور‌های توالی مثبت رخ می‌دهد (acbبه‌جای abc). تعبیر ریاضی این گفته به‌صورت زیر است:

مولفه‌های متقارن به بیان ساده

فازور‌های توالی صفر، یکسان هستند:

مولفه‌های متقارن به بیان ساده

هرکدام از سه قید بالا، چهار درجه آزادی را حذف می‌کنند و درنهایت، سه فازور با مجموع شش درجه آزادی خواهیم داشت (مشابه فازور‌های اولیه). البته مزیت فازور‌های جدید، متعادل و متقارن بودن آن‌ها (و یکسان بودن در توالی صفر) است. فازور‌های جدید را می‌توانیم به‌فرم ماتریسی زیر بنویسیم:

مولفه‌های متقارن به بیان ساده

که در آن، Va، Vb و Vcیک مجموعه فازور ولتاژ دلخواه (متعادل یا غیرمتعادل) هستند.

V۰مؤلفه فازور‌های ولتاژ توالی صفر هستند.
V۱فازور‌های ولتاژ توالی مثبت هستند.
V۲فازور‌های ولتاژ توالی منفی هستند.
a. اپراتور چرخش ۱۲۰∘ (ej۲π۳) است.

معکوس تبدیل بالا، به‌صورت زیر است:

مولفه‌های متقارن به بیان ساده

نمایش تصویری

فرض کنید یک مجموعه ولتاژ سه‌فاز نامتعادل داریم که شکل‌موج آن‌ها در شکل زیر نشان داده شده است.
مولفه‌های متقارن به بیان ساده
شکل ۱

شکل زیر، نمودار فازوری فازور‌های اصلی و مؤلفه‌های متقارن آن‌ها را نشان می‌دهد.

مولفه‌های متقارن به بیان ساده
 
شکل ۲

شکل‌موج فازور‌های توالی مثبت، منفی و صفر در حوزه زمان مطابق شکل‌های زیر هستند.
مولفه‌های متقارن به بیان ساده
شکل ۳
مولفه‌های متقارن به بیان ساده
شکل ۴
مولفه‌های متقارن به بیان ساده
شکل ۵

نمودار‌های زمانی بالا به‌خوبی تفاوت بین توالی‌های مثبت و منفی را نشان می‌دهند. در نمودار توالی مثبت، پیک‌های شکل‌موج به این ترتیب رخ می‌دهد: Va(قرمز)، Vb (سبز)، Vc (آبی). در نمودار توالی منفی، ترتیب رخ دادن پیک‌ها در شکل‌موج، به‌صورت Va (قرمز)، Vc (آبی) و Vb(سبز) است.

نماد‌ها

برای خلاصه‌نویسی می‌توان فازور‌های نامتعادل اصلی و مؤلفه‌های متقارن آن‌ها را با نماد‌های اختصاری زیر نشان داد.

فازور‌های نامتعادل اصلی با Vabcنمایش داده می‌شوند:

مولفه‌های متقارن به بیان ساده

فازور‌های مؤلفه متقارن نیز با نماد V۰۱۲مشخص می‌شوند:

مولفه‌های متقارن به بیان ساده

ماتریس‌های تبدیل نیز به‌صورت زیر هستند:

مولفه‌های متقارن به بیان ساده

بنابراین، تبدیلات مؤلفه متقارن به‌فرم ماتریسی زیر خواهد بود:

مولفه‌های متقارن به بیان ساده

ولتاژها، جریان‌ها و امپدانس‌ها

تبدیل یک شبکه سه‌فاز نامتعادل به مؤلفه‌های متقارن، برای ولتاژ، جریان و امپدانس در ادامه آمده است.

ولتاژ و جریان

فازور‌های ولتاژ و جریان با تبدیل پایه‌ای که در بالا گفته شد، قابل تبدیل به مؤلفه‌های متقارن است:

مولفه‌های متقارن به بیان ساده
امپدانس

امپدانس را نمی‌توان مستقیماً به مؤلفه‌های متقارن تبدیل کرد، زیرا ولتاژ، جریان و امپدانس با قانون اهم به یکدیگر مرتبط می‌شوند. بنابراین، با استفاده از قانون اهم می‌توان مؤلفه‌های متقارن امپدانس را از معادلات زیر به‌دست آورد:‌

مولفه‌های متقارن به بیان ساده

اکنون می‌توانیم بنویسیم:

مولفه‌های متقارن به بیان ساده

امپدانس Zabcیک ماتریس ۳×۳متقارن از امپدانس‌های خودی روی قطر اصلی و امپدانس‌های متقابل (بین فازها) در درایه‌های غیرقطری است:

مولفه‌های متقارن به بیان ساده

قانون اهم برای مؤلفه‌های متقارن به‌صورت زیر است:

مولفه‌های متقارن به بیان ساده
از معادله بالا مشخص است که بین مؤلفه‌های متقارن کمیت‌های شبکه تزویج متقابل وجود دارد. برای مثال، ولتاژ توالی صفر V۰

برابر با مجموع وزن‌دار توالی‌های مثبت، منفی و صفر جریان است:

مولفه‌های متقارن به بیان ساده

امپدانس‌های متعادل

یک حالت خاص که در سیستم‌هایی با امپدانس متعادل رخ می‌دهد، ماتریس امپدانس Zabcبه‌فرم زیر است:

مولفه‌های متقارن به بیان ساده

در چنین سیستم‌هایی، ماتریس امپدانس Z۰۱۲قطری خواهد بود:

مولفه‌های متقارن به بیان ساده

از آن‌جایی که درایه‌های غیرقطری برابر با صفر هستند، ولتاژ و جریان توالی مثبت، منفی و صفر مستقل از یکدیگر خواهند بود؛ یعنی کاملاً دکوپله و مجزا هستند، جملات مشترک ندارند و می‌توان آن‌ها را با معادله‌هایی جدا نوشت:‌

مولفه‌های متقارن به بیان ساده

به‌عنوان جمع‌بندی می‌توان گفت: در یک سیستم متعادل، مؤلفه‌های متقارن کمیت‌های شبکه، مجموعه‌ای از معادلات مجزا را تشکیل می‌دهند. این دستگاه معادلات مجزا، معمولاً برای تشکیل شبکه‌های توالی به‌کار می‌رود.

این نتیجه، اساس بسیاری از تحلیل‌های مورد استفاده در مؤلفه‌های متقارن است. برای مثال، در تحلیل خطای غیرمتعادل، ابتدا فرض می‌کنیم سیستم قبل از خطا متعادل است. با این فرض، می‌توانیم شبکه‌های توالی سیستم را به‌صورت دستگاهی با معادلات مجزا تشکیل دهیم. وقتی عدم تعادل که در محل خطا اتفاق می‌افتد (مثلاً خطای فاز به زمین)، شبکه دکوپله یا مجزای قبلی با آن ترکیب شده و سیستم نامتعادل را تشکیل می‌دهند.
 
منبع: فرادرس
ارسال نظر قوانین ارسال نظر
لطفا از نوشتن با حروف لاتین (فینگلیش) خودداری نمایید.
از ارسال دیدگاه های نا مرتبط با متن خبر، تکرار نظر دیگران، توهین به سایر کاربران و ارسال متن های طولانی خودداری نمایید.
لطفا نظرات بدون بی احترامی، افترا و توهین به مسئولان، اقلیت ها، قومیت ها و ... باشد و به طور کلی مغایرتی با اصول اخلاقی و قوانین کشور نداشته باشد.
در غیر این صورت، «برق نیوز» مطلب مورد نظر را رد یا بنا به تشخیص خود با ممیزی منتشر خواهد کرد.
نام:
ایمیل:
* نظر:
وضعیت انتشار و پاسخ به ایمیل شما اطلاع رسانی میشود.
پربازدیدها
برق در شبکه های اجتماعی
اخبار عمومی برق نیوز
عکس و فیلم
پربحث ترین ها
آخرین اخبار
پرطرفدارترین عناوین